奇数积比偶数积的极限

设$\{a_n\}$和$\{b_n\}$是两个正项数列，且满足以下条件：

• $a_n$是奇数，$b_n$是偶数
• $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$，$\lim\limits_{n\to\infty}b_n=B$，其中$A,B>0$

证明：$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_1\cdot a_3\cdot\cdots\cdot a_{2n-1}}{b_2\cdot b_4\cdot\cdots\cdot b_{2n}}=\frac{A}{B}$

证明

引理

设$\{c_n\}$是一个正项数列，且满足以下条件：

• $\lim\limits_{n\to\infty}c_n=C>0$
• $c_{2n}\ge c_{2n+1}$，对于一切正整数$n$

那么，$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{c_1\cdot c_3\cdot\cdots\cdot c_{2n-1}}{c_2\cdot c_4\cdot\cdots\cdot c_{2n}}=\frac{C}{C}=1

证明：

令$d_n=\frac{c_1\cdot c_3\cdot\cdots\cdot c_{2n-1}}{c_2\cdot c_4\cdot\cdots\cdot c_{2n}}$。则

• $1\le d_n\le d_{n+1}$，对于一切正整数$n$（因为$c_{2n}\ge c_{2n+1}$）
• 是否存在极限$\lim\limits_{n\to\infty}d_n=D$

因为$\{d_n\}$是单调递增的有界数列，所以极限$D$一定存在。

另一方面，令$E_n=\frac{c_2\cdot c_4\cdot\cdots\cdot c_{2n}}{c_1\cdot c_3\cdot\cdots\cdot c_{2n-1}}$。则

• $1\le E_n\le E_{n+1}$，对于一切正整数$n$（因为$c_{2n}\ge c_{2n+1}$）
• 是否存在极限$\lim\limits_{n\to\infty}E_n=F$

类似地，极限$F$一定存在。

因此，

$$\lim\limits_{n\to\infty}d_n=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{E_n}=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}E_n}=\frac{1}{F}$$

而，

$$\lim\limits_{n\to\infty}d_n=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{c_1\cdot c_3\cdot\cdots\cdot c_{2n-1}}{c_2\cdot c_4\cdot\cdots\cdot c_{2n}}=D$$

所以，$D=\frac{1}{F}$，即$D\cdot F=1$。由于$D$和$F$都是正数，所以$D=1$，$F=1$。因此，

$$\lim\limits_{n\to\infty}d_n=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{c_1\cdot c_3\cdot\cdots\cdot c_{2n-1}}{c_2\cdot c_4\cdot\cdots\cdot c_{2n}}=1$$

证毕。

原命题的证明

令$c_n=a_{2n-1}b_{2n}$。则$\{c_n\}$是一个正项数列，且

• $\lim\limits_{n\to\infty}c_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{2n-1}\lim\limits_{n\to\infty}b_{2n}=AB$
• $c_{2n}=a_{2n-1}b_{2n}\ge a_{2n+1}b_{2n+2}=c_{2n+1}$，对于一切正整数$n$（因为$a_n$是奇数，$b_n$是偶数）

根据引理，我们有

$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{c_1\cdot c_3\cdot\cdots\cdot c_{2n-1}}{c_2\cdot c_4\cdot\cdots\cdot c_{2n}}=\frac{AB}{AB}=1$$

即，

$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_1\cdot a_3\cdot\cdots\cdot a_{2n-1}}{b_2\cdot b_4\cdot\cdots\cdot b_{2n}}=\frac{A}{B}$$

证毕。